Volledigheid van de metrische ruimte wordt niet behouden door homeomorfisme.
Wat behoudt homeomorfisme?
Een homeomorfisme, ook wel continue transformatie genoemd, is een equivalentierelatie en één-op-één correspondentie tussen punten in twee geometrische figuren of topologische ruimten die continu is in beide richtingen. Een homeomorfisme dat ook afstanden behoudt, wordt een isometrie genoemd.
Behoudt een homeomorfisme compactheid?
3.3 Eigenschappen van compacte ruimten
We hebben eerder opgemerkt dat compactheid een topologische eigenschap van een ruimte is, dat wil zeggen het wordt behouden door een homeomorfisme. Sterker nog, het wordt bewaard door een continue functie.
Is volledigheid een topologische eigenschap?
Volledigheid is geen topologische eigenschap, d.w.z. men kan niet afleiden of een metrische ruimte compleet is door alleen maar naar de onderliggende topologische ruimte te kijken.
Waarom is begrensdheid geen topologische eigenschap?
Voor metrische ruimten hebben we een notie van begrensdheid: dat wil zeggen dat een metrische ruimte begrensd is als er een reëel getal M is zodat d(x, y) ≤ M voor alle x, y. Begrenzing is geen topologische eigenschap. Bijvoorbeeld, (0, 1) en (1,) zijn homeomorf, maar één is begrensd en één niet. ∞ n=1 is een reeks punten in X.