Voor de modernere notie van functie, "onthoudt" het zijn codomein, en we eisen dat het domein van zijn inverse het hele codomein is, dus een injectieve functie is alleen inverteerbaar als het is ook bijectief.
Is injectief omgekeerd?
Als je functie f:X→Y injectief is maar niet noodzakelijk surjectief, kun je zeggen dat er een inverse functie is gedefinieerd op de afbeelding f(X), maar niet op heel Y. Door willekeurige waarden toe te kennen aan Y∖f(X), krijg je een linker inverse voor je functie.
Hoe weet je of een matrix injectief is?
Laat A een matrix zijn en laat Ared de rij gereduceerde vorm van A zijn. Als Ared een eerste 1 heeft in elke kolom, dan is A injectief. Als Ared een kolom heeft zonder een eerste 1 erin, dan is A niet injectief.
Kan een vierkante matrix injectief zijn?
Merk op dat een vierkante matrix A injectief (of surjectief) is als hij zowel injectief als surjectief is, d.w.z. als hij bijectief is. Bijectieve matrices worden ook wel inverteerbare matrices genoemd, omdat ze worden gekenmerkt door het bestaan van een unieke vierkante matrix B (de inverse van A, aangeduid met A−1) zodanig dat AB=BA=I.
Is injectief dan en slechts als het een linker inverse heeft?
Claim: f is injectief als en slechts als het een linker inverse heeft. Bewijs: We moeten (⇒) bewijzen dat als f injectief is, het een inverse naar links heeft, en ook (⇐) dat als f een inverse naar links heeft, dan is hetinjectief. (⇒) Stel dat f injectief is. We willen een functie g: B→A construeren zodat g ∘ f=idA.