De eerste stelling die Pugh bewijst zodra hij de Riemann-integraal definieert, is dat integreerbaarheid begrensdheid impliceert. Dit is Stelling 15 op pagina 155 in mijn editie. Dit laat zien dat men het eerst eens moet worden over definities.
Is Riemann integreerbaar begrensd?
Stelling 4. Elke Riemann integreerbare functie is begrensd.
Zijn niet-begrensde functies integreerbaar?
Een onbegrensde functie is niet Riemann integreerbaar. In het volgende betekent “integreerbaar” “Riemann integreerbaar en “integraal” betekent “Riemann integraal” tenzij expliciet anders vermeld. f(x)={ 1/x als 0 < x ≤ 1, 0 als x=0. dus de bovenste Riemann-sommen van f zijn niet goed gedefinieerd.
Is een Lebesgue integreerbare functie begrensd?
Meetbare functies die begrensd zijn zijn equivalent aan Lebesgue integreerbare functies. Als f een begrensde functie is gedefinieerd op een meetbare verzameling E met eindige maat. Dan is f meetbaar als en slechts dan als f Lebesgue-integreerbaar is. … Aan de andere kant zijn meetbare functies "bijna" continu.
Hoe weet je of een functie Lebesgue integreerbaar is?
Als f, g functies zijn zodat f=g bijna overal, dan is f Lebesgue-integreerbaar dan en slechts dan als g Lebesgue-integreerbaar is, en de integralen van f en g zijn hetzelfde als ze bestaan.
