Laat P een Sylow p-subgroep van G zijn. … Als G eenvoudig is, dan heeft het 10 subgroepen van orde 3 en 6 subgroepen van orde 5. Aangezien deze groepen echter allemaal cyclisch zijn van prime-orde, elk niet-triviaal element van G bevindt zich in hoogstens één van deze groepen.
Zijn P-groepen cyclisch?
De triviale groep is de enige groep van orde één, en de cyclische groep C p is de enige groep van orde p.
Zijn subgroepen cyclisch?
stelling: Alle subgroepen van een cyclische groep zijn cyclisch. Als G=⟨a⟩ cyclisch is, dan geldt voor elke deler d van |G| er bestaat precies één subgroep van orde d die kan worden gegenereerd door a|G|/d a | G | / d. Bewijs: Laat |G|=dn | G |=d n.
Zijn P Sylow-subgroepen normaal?
Als G precies één Sylow p-subgroep heeft, het moet normaal zijn vanaf Unieke Subgroep van een gegeven volgorde is Normaal. Stel dat een Sylow p-subgroep P normaal is. Dan is het gelijk aan zijn conjugaten. Dus volgens de derde stelling van Sylow kan er maar één zo'n Sylow p-subgroep zijn.
Zijn sylow P-subgroepen Abeliaans?
We bewijzen dat Sylow p-subgroepen van een eindige groep G abeliaans zijn dan en slechts dan als de klassengroottes van de p-elementen van G allemaal coprime zijn met p, en, als p ∈ { 3, 5 }, is de graad van elk onherleidbaar teken in het hoofdp-blok van G gelijk aan p.
