Een geïsoleerd punt is gesloten (geen limiet voor punten). Een eindige vereniging van gesloten verzamelingen is gesloten. Daarom is elke eindige verzameling gesloten. (vi) Een open verzameling die elk rationaal getal bevat, moet noodzakelijkerwijs alle R. zijn
Kunnen gesloten verzamelingen geïsoleerde punten hebben?
Kan een gesloten set er een hebben? Een open verzameling U kan geen geïsoleerd punt hebben, want als x ∈ U en δ > 0 dan (x − δ, x + δ) een interval bevat en dus oneindig veel punten van U bevat. Anderzijds voor any x, {x} is een gesloten verzameling die wel een geïsoleerd punt heeft, namelijk x zelf.
Zijn enkele punten gesloten?
En in elke metrische ruimte is de set bestaande uit een enkel punt gesloten, aangezien er geen limietpunten zijn van zo'n verzameling!
Zijn geïsoleerde punten limietpunten?
Een punt p is een limietpunt van S als elke buurt van p een punt q ∈ S bevat, waarbij q=p. Als p ∈ S geen limietpunt van S is, dan wordt het een geïsoleerd punt van S genoemd. S is gesloten als elk limietpunt van S een punt van S is.
Is het geïsoleerde punt continu?
Een functie is continu op elk geïsoleerd punt.
