In de wiskunde wordt een deelverzameling van een topologische ruimte nergens dicht of zeldzaam genoemd als de sluiting een leeg interieur heeft. In een zeer losse zin is het een set waarvan de elementen nergens strak geclusterd zijn. De gehele getallen zijn bijvoorbeeld nergens dicht bij de reals, terwijl een open bal dat niet is.
Is 1 N nergens dicht?
Een voorbeeld van een verzameling die niet gesloten is maar toch nergens dicht is, is {1n|
∈N}. Het heeft één limietpunt dat niet in de set zit (namelijk 0), maar de sluiting is nog nergens dicht omdat er geen open intervallen passen binnen {1n|n∈N}∪{0}.
Hoe bewijs je dat een verzameling nergens dicht is?
Een deelverzameling A ⊆ X wordt nergens dicht genoemd in X als het inwendige van de sluiting van A leeg is, d.w.z. (A)◦=∅. Anders gezegd, A is nergens dicht als het zich in een gesloten verzameling met een leeg interieur bevindt. Als we overgaan op complementen, kunnen we equivalent zeggen dat A nergens dicht is als zijn complement een dichte open verzameling bevat (waarom?).
Wat betekent overal dicht?
Een deelverzameling A van een topologische ruimte X is compact waarvoor de afsluiting de gehele ruimte X is (sommige auteurs gebruiken de terminologie overal dicht). Een veel voorkomende alternatieve definitie is: een verzameling A die elke niet-lege open deelverzameling van X snijdt.
Is elke dichte verzameling open?
Een topologische ruimte X is hyperverbonden dan en slechts dan als elke niet-lege open verzameling compact is in X. Een topologische ruimte is submaximaal dan en slechts danelke dichte deelverzameling is open.